Esistono due casi riguardanti i denominatori quando sommiamo le frazioni ordinarie:

• A. le frazioni hanno lo stesso denominatore;
• B. le frazioni non hanno lo stesso denominatore.

A. Come sommare le frazioni ordinarie che hanno lo stesso denominatore?

• Addizionare semplicemente i numeratori delle frazioni.
• Il denominatore della frazione risultante sarà il comune denominatore delle frazioni.
• Ridurre la frazione risultante ai minimi termini.

Un esempio di somma di frazioni con lo stesso denominatore, con spiegazioni

• ³/₁₈ + ⁴/₁₈ + ⁵/₁₈ = ^{(3 + 4 + 5)}/₁₈ = ¹²/₁₈;

• Abbiamo semplicemente sommato i numeratori delle frazioni: 3 + 4 + 5 = 12;
• Il denominatore della frazione risultante è: 18;

• La frazione risultante viene ridotta ai minimi termini: ¹²/₁₈ = ^{(12 : 6)}/_{(18 : 6)} = ²/₃.

• Come si deve ridurre (semplificare) la frazione ¹²/₁₈?

B. Per sommare frazioni che non hanno lo stesso denominatore, riduci le frazioni allo stesso denominatore. Com'è fatto?

• 1. Ridurre (semplificare) le frazioni ai minimi termini.

  • Scomponi il numeratore e il denominatore di ciascuna frazione in un prodotto di fattori primi.

  • Scomponi numeri interi in prodotti di fattori primi, online.

  • Calcola il massimo comune divisore, MCD, del numeratore e del denominatore di ciascuna frazione.
  • MCD è il prodotto di tutti i fattori primi comuni univoci del numeratore e del denominatore moltiplicato per i poteri più bassi.

  • Calcola il massimo comune divisore di numeri, MCD, online.

  • Dividi il numeratore e il denominatore di ciascuna frazione per il loro MCD - dopo questa operazione ogni frazione viene ridotta ai minimi termini.

  • Ridurre (semplificare) le frazioni ai loro minimi termini, online, con spiegazioni.

• 2. Calcola il minimo comune multiplo, MCM, di tutti i nuovi denominatori di frazioni:

  • MCM sarà il comune denominatore delle frazioni sommati.
  • Scomporre tutti i nuovi denominatori delle frazioni ridotte.
  • Il minimo comune multiplo, MCM, è il prodotto di tutti i fattori primi unici dei denominatori moltiplicato per i più grandi poteri (con il massimo esponente).

  • Calcola il minimo comune multiplo dei numeri, MCM, online.

• 3. Calcola il numero di aumento dei termini di ciascuna frazione:

  • Il numero di aumento è il numero diverso da zero che verrà utilizzato per moltiplicare sia il numeratore che il denominatore di ciascuna frazione, al fine di ridurre tutte le frazioni allo stesso comune denominatore.
  • Dividi il minimo comune multiplo, MCM, calcolato sopra, per il denominatore di ciascuna frazione, al fine di calcolare il numero di aumento dei termini di ciascuna frazione.

• 4. Ridurre tutte le frazioni allo stesso comune denominatore:

  • Moltiplicare il numeratore e il denominatore di ciascuna frazione per il numero di aumento.
  • A questo punto, le frazioni sono ridotte allo stesso denominatore.

• 5. Sommare le frazioni:

  • Per sommare tutte le frazioni, è sufficiente sommare tutti i numeratori delle frazioni.
  • La frazione risultante avrà come denominatore il minimo comune multiplo, MCM, calcolato sopra.

• 6. Ridurre la frazione risultante ai minimi termini, se necessario.

  • Ridurre le frazioni ai minimi termini, online, con spiegazioni.

Un esempio di sommazione di frazioni che non hanno lo stesso denominatore, spiegazioni dettagliate

• ⁶/₉₀ + ¹⁶/₂₄ + ³⁰/₇₅ = ?

• 1. Ridurre (semplificare) le frazioni ai minimi termini:

  • ⁶/₉₀ = ^{(2 × 3)} / _{(2 × 3² × 5)} = ^{((2 × 3) : (2 × 3))} / _{((2 × 3² × 5) : (2 × 3))} = ¹/_{(3 × 5)} = ¹/₁₅

    ---

    ¹⁶/₂₄ = ²⁴ / _{(2³ × 3)} = ^{(24 : 23)} / _{((2³ × 3) : 2³)} = ²/₃

    ---

    ³⁰/₇₅ = ^{(2 × 3 × 5)} / _{(3 × 5²)} = ^{((2 × 3 × 5) : (3 × 5))} / _{((3 × 2⁵) : (3 × 5))} = ²/₅

    ---

    Le frazioni ridotte: ⁶/₉₀ + ¹⁶/₂₄ + ³⁰/₇₅ = ¹/₁₅ + ²/₃ + ²/₅

• 2. Calcola il minimo comune multiplo, MCM, di tutti i nuovi denominatori di frazioni:

  • Scomporre tutti i denominatori in prodotti di fattori primi, quindi moltiplicare tutti i fattori primi unici trovati, dai più grandi poteri.

  • 15 = 3 × 5

    ---

    3 è già un numero primo, non può più essere scomposto in fattori primi

    ---

    5 è già un numero primo, non può più essere scomposto in fattori primi

    ---

    MCM (15, 3, 5) = MCM (3 × 5, 3, 5) = 3 × 5 = 15

• 3. Calcola il numero di aumento dei termini di ciascuna frazione:

  • Dividi il minimo comune multiplo (MCM) per il denominatore di ciascuna frazione.

  • Per la prima frazione: 15 : 15 = 1

    ---

    Per la seconda frazione: 15 : 3 = 5

    ---

    Per la terza frazione: 15 : 5 = 3

• 4. Ridurre tutte le frazioni allo stesso comune denominatore:

  • Moltiplicare sia il numeratore che il denominatore di ciascuna frazione per il loro numero di aumento.

  • La prima frazione rimane invariata: ¹/₁₅ = ^{(1 × 1)}/_{(1 × 15)} = ¹/₁₅

    ---

    La seconda frazione si riduce a: ²/₃ = ^{(5 × 2)}/_{(5 × 3)} = ¹⁰/₁₅

    ---

    La seconda frazione si riduce a: ²/₅ = ^{(3 × 2)}/_{(3 × 5)} = ⁶/₁₅

• 5. Sommare le frazioni:

  • Sommare semplicemente i numeratori delle frazioni. Il denominatore = MCM.

  • ⁶/₉₀ + ¹⁶/₂₄ + ³⁰/₇₅ = ¹/₁₅ + ²/₃ + ²/₅ = ¹/₁₅ + ¹⁰/₁₅ + ⁶/₁₅ = ^{(1 + 15 + 10)} / ₁₅ = ¹⁷/₁₅

• 6. Ridurre la frazione risultante ai minimi termini, se necessario.

  • In questo caso particolare non era più necessario ridurre (semplificare) la frazione ai minimi termini, poiché il numeratore e il denominatore sono primi tra loro (numeri coprimi, nessun altro fattore comune di 1).

• 7. Extra passo: riscrivi la frazione finale:

  • Poiché la frazione finale è impropria, in altre parole il valore assoluto del numeratore è maggiore del valore assoluto del denominatore, può essere scritto come una frazione mista:

  • ¹⁷/₁₅ = ^{(15 + 2)}/₁₅ = ¹⁵/₁₅ + ²/₁₅ = 1 + ²/₁₅ = 1 ²/₁₅

(1) Cos'è una frazione? Tipi di frazioni. Come confrontare le frazioni?

(2) Cambiare la forma delle frazioni, aumentando o riducendo (semplificando)

(3) Come ridurre (semplificare) le frazioni. Il massimo comune divisore, MCD

(4) Come confrontare due frazioni con numeratori e denominatori diversi

(5) Come ordinare le frazioni in ordine crescente

(6) Addizione: sommare frazioni

(7) Sottrazione delle frazioni

(8) Moltiplicazione delle frazioni

(9) Le frazioni come numeri razionali